Mentale Ontwikkeling van Wiskunde

Mentale Ontwikkeling Wiskunde

Wiskunde gebruikt geconfectioneerde regels om modellen en relaties te maken. Tijdens het onderwijzen, stel ik de volgende vraag:

  •     Welke relatie vormt dit model?
  •     Welke echte wereld items delen deze relatie?
  •     Is die relatie wel logisch voor mij?

Negatieve GetallenDit zijn eenvoudige vragen, maar ze helpen me nieuwe onderwerpen te begrijpen. Als u mijn wiskunde berichten graag leest, weet u dat mijn artikels met mijn benadering aangaande dit onderwerp vaak wordt verguisd. Veel mensen hebben veel inzichtelijke opmerkingen bericht, over hun strijd met wiskunde en de middelen die hen geholpen hebben.

Wiskunde onderwijs

Schoolboeken stuitten zelden op begrip;  het oplossen van wiskunde problemen wordt met “ouderwetse” formules gedaan. Het bedroeft mij dat prachtige nieuwe ideeën vaak een negatieve behandeling krijgen:

  • De stelling van Pythagoras gaat niet alleen over driehoeken. Het gaat over de relatie tussen vergelijkbare vormen, de afstand tussen een verzameling van getallen, en nog veel meer.
  •     E is niet slechts een nummer. Het gaat over de fundamentele relaties tussen alle cijfers.
  •     Het natuurlijke logboek is niet slechts een inverse functie. Het gaat om de hoeveelheid tijd die dingen nodig hebben om te groeien.

Een elegant, “ha!” moet onze focus zijn, maar laten we daar de studenten zelf maar over laten struikelen. Ik raakte een “een ha” ogenblikkelijk na een helse wiskunde sessie op de universiteit. Sindsdien heb ik epifanieën willen vinden en delen om anderen de zelfde pijn te besparen. En het werkt in beide richtingen,  ik wil de inzichten graag met je delen. Er is dan meer begrip, minder pijn, en iedereen wint.

Wiskunde evolueert na verloop van tijd

Ik beschouw wiskunde als een manier van denken, en het is belangrijk om te zien hoe het zich ontwikkeld in het denken in plaats van alleen het resultaat. Laten we dit proberen aan de hand van een voorbeeld. Stel je voor een holbewoner begint met zijn eerste wiskunde les. Eén van de eerste problemen is het tellen van dingen. Verschillende systemen hebben zich na verloop van tijd ontwikkeld:

Geen enkel systeem is perfect, en elk heeft zijn voordelen:

  •     Unaire systeem: Teken lijnen in het zand — eenvoudiger kan het niet. Ideaal voor het bijhouden van de score in wedstrijden; u kunt aan een getal toevoegen zonder te wissen of te herschrijven.
  •     Romeinse cijfers: Meer geavanceerde unaire methode, met sneltoetsen voor grote aantallen.
  •     Decimalen: beseffen dat je getallen kunt gebruiken in een “positioneel” systeem met plaats en nul.
  •     Binair: Eenvoudigste positionele systeem (twee cijfers, op versus af) het is ideaal voor mechanische apparaten.
  •     Wetenschappelijke notatie: Uiterst compact, voor het gemakkelijk meten van grote getallen en precisie (1E3 vs 1.000E3).

Denk je dat we klaar zijn? Echt niet. Na 1000 jaar hebben nu een systeem dat decimale getallen zo schilderachtige doet voorkomen als Romeinse cijfers (“hoe is het ze gelukt met dergelijke onhandige hulpmiddelen?”).

Negatieve getallen zijn niet zo echt

Laten we een beetje meer over nadenken. Het bovenstaande voorbeeld toont dat ons getallen systeem een van vele manieren is om tel problemen op te lossen.

De Romeinen zouden nullen en breuken vreemd vinden, maar het betekent niet  dat “nietsheid” en “deel van geheel” geen nuttige concepten zijn. Maar zie hoe elk systeem wordt opgenomen in nieuwe ideeën. Breuken (1/3), decimalen (. 234), en complexe getallen (3 + 4i) zijn manieren om je in nieuwe relaties te uiten. Ze kunnen misschien nu niet zinvol zijn, net als nul niet “zinvol” was voor de Romeinen. We moeten nieuwe levensechte relaties voor creëren.

Zelfs dan zouden negatieve getallen voor ons niet bestaan op de manier waarop we denken, zoals u me hier overtuigd:

U: Negatieve getallen zijn een geweldig idee, maar bestaan niet echt. Het is een label dat we op een concept toepassen.

Ik: Dat doen ze zeker.

U: Ok, Toon mij 3 koeien.

Ik: Nou, um… Stel je bent een boer, en je hebt net 3 koeien verloren.

U: Ok, dan heb je nul koeien.

Ik: Nee, ik bedoel, je gaf 3 koeien aan een vriend.

U: Ok, hij heeft 3 koeien en ik heb nu nul.

Ik: Nee, ik bedoel, hij gaat deze ooit terug geven. Hij is ze U verschuldigd.

U: Ah,  het werkelijke aantal dat ik heb (-3 of 0) hangt af of ik denk dat hij mij zal terug betalen. Ik wist niet dat mijn mening de berekening veranderd. In mijn wereld had ikde hele tijd nul.

Ik: zucht, nee dus. Wanneer hij u de koeien terug geeft, ga je van -3 naar 3.

U: Ok, dus hij geeft 3 koeien en we springen 6, van -3 naar 3? Is er een andere nieuwe rekenkundig probleem waar ik me bewust van moet zijn? Hoe ziet sqrt(-17) koeien er uit?

Ik: Get out.

Negatieve getallen kunnen een relatie uitdrukken:

  • Positieve getallen vertegenwoordigen een overschot aan koeien
  • Nul vertegenwoordigt geen koeien
  • Negatieve getallen vertegenwoordigen een tekort aan koeien die worden geacht te worden terugbetaald

Maar negatieve getallen “bestaan niet echt” — het is alleen de relatie die zij vertegenwoordigen (een overschot/tekort van koeien). Omdat je niet-3 koeien in je hand kunt houden, hebben we een “negatief getal” model ontworpen om je te helpen met de boekhouding. (Ik gebruik doelbewust een verschillende interpretatie van wat “negatief” betekent: het is een ander tel systeem, net als Romeinse cijfers en decimalen verschillende telsystemen zijn.)

Wist u, dat negatieve getallen door veel mensen niet werden geaccepteerd, met inbegrip van westerse wiskundigen, tot de jaren 1700. Het idee van een negatief werd beschouwd als “absurd”. Negatieve getallen lijken vreemd, tenzij u ziet hoe zij complexe relaties vertegenwoordigenin de echte wereld, zoals schuld.

Waarom alle deze filosofie?

Besefte ik dat mijn “ mentaliteit is de sleutel tot leren.” Het hielp me tot diepe inzichten te komen, specifiek:

Feitenkennis is niet begrijpen. Weten dat “hamers spijkers slaan” is niet hetzelfde als het inzicht dat een hard voorwerp (een rots, een moersleutel) een spijker kan slaan. Houd een open mening. Ontwikkel een intuitie door jezelf opnieuw als een beginner te zien.

Een hoogleraar aan de universiteit ging voor een bezoek naar een beroemde Zen-meester. Terwijl de kapitein rusig thee serveerde, sprak de professor over Zen. De kapitein schonk de thee tot aan de rand van de kop, en bleef gieten. De professor keek naar de overvolle cup totdat hij zichzelf niet langer kon bedwingen. “het is overvol! Er kan niet meer thee bij!”schreeuwde de professor. De Zen meester zei eens “U bent zoals deze beker,”, “Hoe kan ik u Zen leren, tenzij u eerst uw kop leeg maakt.”

Wees creatief. Kijk naar vreemde relaties. Gebruik diagrammen,g ebruik humor, en gebruik analogieën. Maak gebruik van iets dat de ideeën levendiger maakt. Analogieën zijn niet perfect, maar helpen wanneer u worstelt met het algemene idee.

Realiseer dat je kunt leren. Wij verwachten dat de kinderen algebra leren, trigonometrie en calculus die de oude Grieken zou verbazen. En we moeten, we kunnen zo veel leren, mits goed uitgelegd. Niet stoppen totdat het zinvol is, of dat wiskundige gat zal je achtervolgen. Mentale weerbaarheid is van cruciaal belang — we geven vaak te gemakkelijk op.

Dus wat is het punt?

Ik wil delen wat ik heb ontdekt, in de hoop het u helpt bij het leren van wiskunde:

Wiskunde creëert modellen die bepaalde relaties hebben

We proberen verschijndelen te vinden in de echte wereld  die dezelfde relatie hebben. Onze modellen zijn altijd aan het verbeteren. Een nieuw model kan voorbij komen dat een betere relatie heeft (zoals Romeinse cijfers naar het decimale systeem).

Zeker, sommige modellen lijken geen nut te hebben: “waar zijn imaginaire getallen goed voor?”, vragen veel studenten. Het is een goede vraag, met een intuïtief antwoord.

Het gebruik van imaginaire getallen wordt beperkt door onze verbeelding en begrip — net als negatieve getallen “nutteloos zijn” tenzij u het idee van iets schuldig zijn hebt, imaginaire getallen kunnen verwarrend zijn, omdat we niet echt begrijpen wat de relatie is die zij vertegenwoordigen.

Wiskunde biedt modellen; het begrijpen van hun relaties en hoe deze toe te passen op de echte wereldse toepassingen.

Intuïtie ontwikkelen maakt leren leuk — zelfs accounting is niet slecht als je begrijpt hoe het problemen oplost. Ik wil aandacht schenken aan complexe getallen, calculus en andere ongrijpbare onderwerpen door te focussen op relaties, niet de oplossingen en mechanica.

Maar dit is mijn ervaring — hoe leer je het best?