Hebt u een favoriete wiskunde verhaal

Gelieve dit te delen – de grappiger hoe beter!

Hier is de mijne:

Mijn familie en ik keken naar HBO’s Crashbox waar ze een stelletje wiskunde problemen op het scherm aan het toveren waren.

Hopeloze Wiskunde Leraar

Er kwam iets in de trant van de het volgende:

9 + 6 / 3 =?

Ik flapte er snel uit: 11

Kort daarna, kwam het antwoord 5, en mijn vrouw riep, “dat was zo gemakkelijk! Ik kan niet geloven dat je het verkeerd hebt!”

Waarop ik antwoordde: “Nee, ze hebben het mis! Ze genegeerd duidelijk “Operatorprioriteit” waar u moet vermenigvuldigen en delen voordat u gaat optellen en aftrekken. Ze leren je dit in algebra als ze er al niet eerder mee beginnen.” Na een moment van nadenken of ik haar niet voor de gek hield, zei ze, “nou ja, dit is een show voor kinderen – ze zijn waarschijnlijk nog niet met algebra concepten begonnen.” Touche!

Dus ik vertelde het verhaal op het werk en een van mijn collega’s reageerde verbijsterd. Hij kon niet geloven dat ze zo’n grove wiskunde fout konden uitzenden in een kinderprogramma. Zijn verwachting was dat ze in het mengen van operatoren met verschillende prioriteit, er nog steeds voor moesten zorgen dat het juiste antwoord gegeven zou moeten worden met een evaluatievolgorde van links naar rechts terwijl nog steeds in acht zou worden genomen. Met andere woorden, hij stelde dat het probleem “6 / 3 + 9” zou moeten zijn.

Hoe dan ook, gelieve uw wiskunde verhalen te delen.

Ik had een lagere schoolleraar genaamd mijnheer Robinson. Hij was een idioot. Zijn idiotie was gerelateerd aan de wiskunde.

Mijnheer Robinson drong erop aan dat 4 x 0 = 4 en (hoewel hij het niet uitdrukte, was het overduidelijk dat het zijn idee was) dat n x 0 = n. We hadden alle eerder geleerd dat nx0 = 0 en protesteerde daar tegen, maar hij stond erop dat:

“4 x 0 = 4 omdat u er al 4 heeft om mee te beginnen”.

(Nee. ik maak geen geintje.)

Onnodig te zeggen, dat de man volledig incompetent was. Hij kreeg vervolgens het idee, na de protesten, dat zijn leerlingen de rekenkunde niet begrepen dus in zijn volgende test over vermenigvuldiging hij een punt maakte op vragen als dat – en iedereen moest antwoorden geven die meneer verlangde – door zijn echte overtuiging of om zichzelf te plezieren ik ben er niet volledig zeker van – maar hij werkte er hard aan om zijn dwaasheid aan de volgende generatie mee te geven .

Het wordt nog erger. Hij vroeg ons tijdens de les dingen zoals 0 x 4 =? en natuurlijk iedereen zei “4” maar nee – in dit geval correct wist hij dat 0 x 4 = 0 omdat “u nu niet de 4 heeft om mee te beginnen. U heeft nu 0 om mee te beginnen, maar bij 4 x 0 start u met 4. dat wil zeggen hij kon zelfs niet consequent dom zijn en hij verwacht van zijn leerlingen dezelfde inconsequentheid.

Wat zegt dit alles dus voor mij, is dat niet alleen een fout maakte: hij had eigenlijk geen flauw besef van de rekenkunde. Bijvoorbeeld, wat dacht hij dat 4 x 0.5 was? 4? Omdat u al de 4 er om te beginnen met? Maar dat zou te dom zijn. Rekenmachines bestonden al in die tijd- en hij had er waarschijnlijk een. Maar zou hij een van deze berekeningen in een rekenmachine hebben getoetst? Ook, leerde hij ons breuken, en hij zou zich moeten hebben gerealiseerd dat (4/1) x (1/2) = 2, dus om zin van dat hij zou moeten zeggen dat 4 x 0.5 = 2, maar in dat geval zou hij moeten zien dat 4 x n dichter bij nul ligt – maar nog krijgt hij magisch voor elkaar en springt terug naar 4 n = 0!

De man was in wezen een idioot. Dit kleine idee heeft hij dat nx0 = n is gewoon niet compatible met iets anders dat hij proberen zou te doen met wiskunde. In feite, als u dit denkt, dan hebt u geen goed gevormd concept wat nummers in je hoofd zijn: het suggereert dat u zojuist een paar “rote” regels hebt geleerd, en uw begrip is zo ondiep dat u niet kunt zien wanneer u het verkeerd hebt.

Nu, is het eerlijk om hem openbaar te bespotten door hem uit te maken voor een wiskunde vuinisman ?

Ja: kon hij doelbewust mensen vernederen, in een zeer weloverwogen, onprofessionele manier, voor niet kundig voor beantwoorden wat hij beschouwd als een wiskunde probleem dat zij moeten kunnen beantwoorden. Dat maakt het goed om dit terug te doen: lol:

Ik had een domme lerares in de basisschool zoals de vorige spreker had, maar zij was een jonge vrouw. Eens ik betwiste met een andere leerling over wat 1/1 is; naar mijn mening was 1, zijn mening 0. Dus we vroegen de lerares en ze antwoordde tot mijn enorme verbazing, het is 0. Zo koppig als ik ben, liep ik weg met een “eppur si muove” gevoel en nooit meer op de vraag terug te keren.

Daarna heb ik soms gedacht hoe ze haar resultaat zou hebben gemotiveerd. Ik denk dat ze echt niet meer verstand had van wiskunde dan optellen en aftrekken. Van de aard van de divisie en vermenigvuldigen had ze slechts een intuïtief gevoel, dat divisie dingen kleiner en vermenigvuldiging groter maakt. Dus, als 1 wordt gedeeld door een willekeurig getal, moet het resultaat (in de verzameling van niet-negatieve gehele getallen) 0 zijn, omdat er geen ander kleiner getal aanwezig is.

Heh, het verhaal  var de vorige spreker me herinnerde me hieraan, uiteraard vanwege de gelijkenis in zijn leraar’s redenering.

Mentale Ontwikkeling van Wiskunde

Mentale Ontwikkeling Wiskunde

Wiskunde gebruikt geconfectioneerde regels om modellen en relaties te maken. Tijdens het onderwijzen, stel ik de volgende vraag:

  •     Welke relatie vormt dit model?
  •     Welke echte wereld items delen deze relatie?
  •     Is die relatie wel logisch voor mij?

Negatieve GetallenDit zijn eenvoudige vragen, maar ze helpen me nieuwe onderwerpen te begrijpen. Als u mijn wiskunde berichten graag leest, weet u dat mijn artikels met mijn benadering aangaande dit onderwerp vaak wordt verguisd. Veel mensen hebben veel inzichtelijke opmerkingen bericht, over hun strijd met wiskunde en de middelen die hen geholpen hebben.

Wiskunde onderwijs

Schoolboeken stuitten zelden op begrip;  het oplossen van wiskunde problemen wordt met “ouderwetse” formules gedaan. Het bedroeft mij dat prachtige nieuwe ideeën vaak een negatieve behandeling krijgen:

  • De stelling van Pythagoras gaat niet alleen over driehoeken. Het gaat over de relatie tussen vergelijkbare vormen, de afstand tussen een verzameling van getallen, en nog veel meer.
  •     E is niet slechts een nummer. Het gaat over de fundamentele relaties tussen alle cijfers.
  •     Het natuurlijke logboek is niet slechts een inverse functie. Het gaat om de hoeveelheid tijd die dingen nodig hebben om te groeien.

Een elegant, “ha!” moet onze focus zijn, maar laten we daar de studenten zelf maar over laten struikelen. Ik raakte een “een ha” ogenblikkelijk na een helse wiskunde sessie op de universiteit. Sindsdien heb ik epifanieën willen vinden en delen om anderen de zelfde pijn te besparen. En het werkt in beide richtingen,  ik wil de inzichten graag met je delen. Er is dan meer begrip, minder pijn, en iedereen wint.

Wiskunde evolueert na verloop van tijd

Ik beschouw wiskunde als een manier van denken, en het is belangrijk om te zien hoe het zich ontwikkeld in het denken in plaats van alleen het resultaat. Laten we dit proberen aan de hand van een voorbeeld. Stel je voor een holbewoner begint met zijn eerste wiskunde les. Eén van de eerste problemen is het tellen van dingen. Verschillende systemen hebben zich na verloop van tijd ontwikkeld:

Geen enkel systeem is perfect, en elk heeft zijn voordelen:

  •     Unaire systeem: Teken lijnen in het zand — eenvoudiger kan het niet. Ideaal voor het bijhouden van de score in wedstrijden; u kunt aan een getal toevoegen zonder te wissen of te herschrijven.
  •     Romeinse cijfers: Meer geavanceerde unaire methode, met sneltoetsen voor grote aantallen.
  •     Decimalen: beseffen dat je getallen kunt gebruiken in een “positioneel” systeem met plaats en nul.
  •     Binair: Eenvoudigste positionele systeem (twee cijfers, op versus af) het is ideaal voor mechanische apparaten.
  •     Wetenschappelijke notatie: Uiterst compact, voor het gemakkelijk meten van grote getallen en precisie (1E3 vs 1.000E3).

Denk je dat we klaar zijn? Echt niet. Na 1000 jaar hebben nu een systeem dat decimale getallen zo schilderachtige doet voorkomen als Romeinse cijfers (“hoe is het ze gelukt met dergelijke onhandige hulpmiddelen?”).

Negatieve getallen zijn niet zo echt

Laten we een beetje meer over nadenken. Het bovenstaande voorbeeld toont dat ons getallen systeem een van vele manieren is om tel problemen op te lossen.

De Romeinen zouden nullen en breuken vreemd vinden, maar het betekent niet  dat “nietsheid” en “deel van geheel” geen nuttige concepten zijn. Maar zie hoe elk systeem wordt opgenomen in nieuwe ideeën. Breuken (1/3), decimalen (. 234), en complexe getallen (3 + 4i) zijn manieren om je in nieuwe relaties te uiten. Ze kunnen misschien nu niet zinvol zijn, net als nul niet “zinvol” was voor de Romeinen. We moeten nieuwe levensechte relaties voor creëren.

Zelfs dan zouden negatieve getallen voor ons niet bestaan op de manier waarop we denken, zoals u me hier overtuigd:

U: Negatieve getallen zijn een geweldig idee, maar bestaan niet echt. Het is een label dat we op een concept toepassen.

Ik: Dat doen ze zeker.

U: Ok, Toon mij 3 koeien.

Ik: Nou, um… Stel je bent een boer, en je hebt net 3 koeien verloren.

U: Ok, dan heb je nul koeien.

Ik: Nee, ik bedoel, je gaf 3 koeien aan een vriend.

U: Ok, hij heeft 3 koeien en ik heb nu nul.

Ik: Nee, ik bedoel, hij gaat deze ooit terug geven. Hij is ze U verschuldigd.

U: Ah,  het werkelijke aantal dat ik heb (-3 of 0) hangt af of ik denk dat hij mij zal terug betalen. Ik wist niet dat mijn mening de berekening veranderd. In mijn wereld had ikde hele tijd nul.

Ik: zucht, nee dus. Wanneer hij u de koeien terug geeft, ga je van -3 naar 3.

U: Ok, dus hij geeft 3 koeien en we springen 6, van -3 naar 3? Is er een andere nieuwe rekenkundig probleem waar ik me bewust van moet zijn? Hoe ziet sqrt(-17) koeien er uit?

Ik: Get out.

Negatieve getallen kunnen een relatie uitdrukken:

  • Positieve getallen vertegenwoordigen een overschot aan koeien
  • Nul vertegenwoordigt geen koeien
  • Negatieve getallen vertegenwoordigen een tekort aan koeien die worden geacht te worden terugbetaald

Maar negatieve getallen “bestaan niet echt” — het is alleen de relatie die zij vertegenwoordigen (een overschot/tekort van koeien). Omdat je niet-3 koeien in je hand kunt houden, hebben we een “negatief getal” model ontworpen om je te helpen met de boekhouding. (Ik gebruik doelbewust een verschillende interpretatie van wat “negatief” betekent: het is een ander tel systeem, net als Romeinse cijfers en decimalen verschillende telsystemen zijn.)

Wist u, dat negatieve getallen door veel mensen niet werden geaccepteerd, met inbegrip van westerse wiskundigen, tot de jaren 1700. Het idee van een negatief werd beschouwd als “absurd”. Negatieve getallen lijken vreemd, tenzij u ziet hoe zij complexe relaties vertegenwoordigenin de echte wereld, zoals schuld.

Waarom alle deze filosofie?

Besefte ik dat mijn “ mentaliteit is de sleutel tot leren.” Het hielp me tot diepe inzichten te komen, specifiek:

Feitenkennis is niet begrijpen. Weten dat “hamers spijkers slaan” is niet hetzelfde als het inzicht dat een hard voorwerp (een rots, een moersleutel) een spijker kan slaan. Houd een open mening. Ontwikkel een intuitie door jezelf opnieuw als een beginner te zien.

Een hoogleraar aan de universiteit ging voor een bezoek naar een beroemde Zen-meester. Terwijl de kapitein rusig thee serveerde, sprak de professor over Zen. De kapitein schonk de thee tot aan de rand van de kop, en bleef gieten. De professor keek naar de overvolle cup totdat hij zichzelf niet langer kon bedwingen. “het is overvol! Er kan niet meer thee bij!”schreeuwde de professor. De Zen meester zei eens “U bent zoals deze beker,”, “Hoe kan ik u Zen leren, tenzij u eerst uw kop leeg maakt.”

Wees creatief. Kijk naar vreemde relaties. Gebruik diagrammen,g ebruik humor, en gebruik analogieën. Maak gebruik van iets dat de ideeën levendiger maakt. Analogieën zijn niet perfect, maar helpen wanneer u worstelt met het algemene idee.

Realiseer dat je kunt leren. Wij verwachten dat de kinderen algebra leren, trigonometrie en calculus die de oude Grieken zou verbazen. En we moeten, we kunnen zo veel leren, mits goed uitgelegd. Niet stoppen totdat het zinvol is, of dat wiskundige gat zal je achtervolgen. Mentale weerbaarheid is van cruciaal belang — we geven vaak te gemakkelijk op.

Dus wat is het punt?

Ik wil delen wat ik heb ontdekt, in de hoop het u helpt bij het leren van wiskunde:

Wiskunde creëert modellen die bepaalde relaties hebben

We proberen verschijndelen te vinden in de echte wereld  die dezelfde relatie hebben. Onze modellen zijn altijd aan het verbeteren. Een nieuw model kan voorbij komen dat een betere relatie heeft (zoals Romeinse cijfers naar het decimale systeem).

Zeker, sommige modellen lijken geen nut te hebben: “waar zijn imaginaire getallen goed voor?”, vragen veel studenten. Het is een goede vraag, met een intuïtief antwoord.

Het gebruik van imaginaire getallen wordt beperkt door onze verbeelding en begrip — net als negatieve getallen “nutteloos zijn” tenzij u het idee van iets schuldig zijn hebt, imaginaire getallen kunnen verwarrend zijn, omdat we niet echt begrijpen wat de relatie is die zij vertegenwoordigen.

Wiskunde biedt modellen; het begrijpen van hun relaties en hoe deze toe te passen op de echte wereldse toepassingen.

Intuïtie ontwikkelen maakt leren leuk — zelfs accounting is niet slecht als je begrijpt hoe het problemen oplost. Ik wil aandacht schenken aan complexe getallen, calculus en andere ongrijpbare onderwerpen door te focussen op relaties, niet de oplossingen en mechanica.

Maar dit is mijn ervaring — hoe leer je het best?

Faalt ons wiskunde onderwijs?

Wiskunde Methode

Hier is waarom het wiskunde-onderwijs dat uw kinderen krijgen,  waarschijnlijk niet is wat ze nodig hebben.

Zo zeker als is een plus een twee is, gebeurt dit elk jaar. Kinderen komen thuis met tienen in chemie en hebben visioenen van carrières in hun hoofd. Ze sloegen hierna tegen een onzichtbare, maar zeer pijnlijke muur.

Volgens onderzoek van de Universiteit van Californië, Los Angeles, vielen er uiteindelijk maar  liefst 60 procent van alle studenten uit, die (wetenschap, technologie, engineering, wiskunde) wilden studeren. In een tijperk waar politici en opvoeders zich zorgen maken over achterblijvende Nederlandse studenten in wiskunde en wetenschap ten opzichte van de whiz kids van Shanghai en Japan, drijgt dit een uitputtingsslag voor deskundigen te worden, en het heeft geleid tot een onderzoek op het waarom, en geven de schuld aan van de redenen van geslacht of ras.

Een theorie voor deze exodus is dat Nederlandse studenten niet een goede basis in de wiskunde krijgen, een noodzakelijke vaardigheid voor vele wetenschappelijke en technische curricula. Immers, scoren ongeveer een derde van de Nederlandse MBOers is niet bedreven in de wiskunde. Maar de kicker is: de uitputtingsslag waarden zijn zelfs nog hoger op de HBO en universiteiten, plaatsen waar kinderen extreem hoge cifers moeten hebben om alleen al toegelaten te worden.

Dus waarom zelfs de meest ervaren studenten falen voor deze vakken wanneer zij aan HBO toe zijn? Een recent artikel in de New York Times onderzocht de mogelijke redenen, van de verleidelijke hoge cijfers inflatie in de kunsten en de geesteswetenschappen, aan wat een professor kenmerkt als de saaie, grotendeels theoretische “wiskunde dodenmars” van eerstejaars eisen.

Dat kan het fenomeen verklaren, ten minste ten dele. Maar wiskunde deskundigen in het hele land wijzen op een andere beklaagde. Richard Rusczyk, een voormalige Wiskunde Olympiade winnaar en de oprichter van het online wiskunde programma Art of Problem Solving, maakt deel uit van een groep van wiskunde opvoeders die het mysterie van de verdwijnende slaagkans vanuit een andere hoek ziet. Het is niet dat kinderen onvoldoende wiskunde krijgen, ze zeggen, maar dat K-12 wiskunde helemaal verkeerd wordt onderwezen.

Advertentie

Rusczyk inzicht is gebaseerd op een fenomeen dat hij getuige uit de eerste hand heeft toen hij op Princeton University arriveerde en wiskunde studeerde naast kinderen die hadden deelgenomen aan de meest prestigieuze middelbare scholen in het land. “Dit waren kinderen die nooit iets anders dan negens en tienen op hun examens hadden gekregen en plotseling worstelden en slechts kregen zessen behaalden en besloten dat ze niet goed in wiskunde waren, legt hij uit.

Volgende bladzijde: een wiskunde

Reality check

Noem het de wiskundige reality check.

Op een dag werden studenten geconfronteerd met een nieuw idee: dat vereist meer dan recht toe recht aan wiskunde leren, het vereist creativiteit en zware mentale gymnastiek. “Ze hadden geleerd dat wiskunde een reeks van bestemmingen was en hun werd geleerd een reeks van regels naar die plaatsen te volgen,” herinnert hij zich. “Ze hadden nooit geleerd een wegwijzer te lezen, of zelfs dat er een wiskunde wegwijzer bestond.”

Inderdaad, traditionele wiskunde curriculum is er om te discrete algoritmen te leren, een aantal regels die resulteren in een correct antwoord, zoals hoe een staartdeling te doen, of het gebruik van de stelling van Pythagoras. Daarna materiaal leren door het doen van een grote hoeveelheid van soortgelijke problemen. Het resultaat, zegt Rusczyk, is dat studenten zelden gevraagd werd een probleem die ze niet vertrouwd mee zijn op te lossen. In plaats daarvan, zien ze wiskunde als een reeks van regels die moeten worden gememoriseerd. Het probleem is de jonge geitjes niet noodzakelijkerwijs leren hoe een nieuwe of andere soort van vergelijking aan te vallen.

Rusczyk zag veel van zijn medestudenten verzuren in wiskunde en zagen zichzelf als mislukking. Ze stopten, en brachten hun hoop en dromen over naar een minder numeriek uitdagende veld zoals sociologie of grafisch ontwerp.

Rusczyk, voelde daarentegen veel meer bereidheid, wanneer hij werd geconfronteerd met een probleem dat hij niet wist op te lossen. Ondanks dat hij had deelgenomen aan wat hij typeert als een gemiddelde openbare school zonder veel geavanceerde wiskunde lessen, had hij deelgenomen aan wiskunde clubs en wedstrijden. In wiskunde clubs, zou hij gewend aan raken moeilijkere, veelzijdige problemen waar de juiste aanpak niet meteen duidelijk was.

Wiskunde als probleemoplossing

In plaats van alleen maar leren hoe regels te volgen, legt hij uit, “In wiskunde wedstrijden, had ik geleerd hoe problemen op te lossen die ik eerder niet gezien had.” In plaats van wiskunde te zien als iets om een perfecte score te behalen via de traditionele wijze, zag hij wiskunde als een oplosser van problemen, een spannend plezierige manier in kontrast met het gezwoeg van het onthouden van de algoritmen.

Toen Rusczyk zag een patroon. Zijn klasgenoten die hadden geleerd dit soort moeilijke problemen op te lossen — meestal in naschoolse math clubs — konden de overgang naar HBO wiskunde overleven. Degenen die alleen waren blootgesteld aan het traditionele wiskunde curriculum, degenen die, zoals Rusczyk stelt, hebben ervaren de “tirannie van 100%” — gaven ook gemakkelijk op, omdat ze dachten dat als ze niet de hoogste scores behaalden, ze niet waren bedoeld wiskunde te doen. “Plotseling, een solide 8 was een 40%, de 10 was 82%, en niemand krijgt een 10” herinnert hij zich. “Maar ze wisten dit niet.” Rusczyk besefte dat deze kinderen had een slechte kaarten hadden gekregen: “ze werden onderwezen dat wiskunde een verzameling van feiten is, niet een proces.”

Deze fundamentele ideeën — dat wiskunde niet gaat over het strikt volgen van regels maar over het oplossen van problemen, dat wiskunde betekent plezier geestelijke strijd, niet saai leren, vormt de basis voor zijn online wiskunde school en curriculum, die momenteel al pre algebra omvat calculus en één jaar (derde graads) van zijn nieuwe basisschool programma, Beast Academy.

In tegenstelling tot traditionele wiskunde curriculum geeef je de kinderen een probleem (niet de verklaring hoe ze op te lossen) en suggestieve vragen om hen te laten worstelen met de ideeën, een beetje voordat ze het waterdicht algoritme krijgen.

Zijn programma’s zijn ontworpen voor begaafde wiskunde studenten, maar hij beweert dat hij met zijn ideeën ook andere kinderen kan helpen, begaafd of niet. Zijn observatiesn bieden een oplossing voor ouders die hun kinderen willen helpen de schooldeuren van kansen open te houden. Hij heeft een duidelijke boodschap aan ouders om hun kind wiskunde ervaring mee te geven. Wat moeten kinderen leren over wiskunde?

Voor jongere kinderen, is het belangrijk om hen een liefde voor wiskunde te geven, net zoals we proberen kinderen een liefde voor lezen te geven.

Wiskunde is een uitdaging

“Kids ruiken angst,” zegt hij. “En veel lagere school leerkrachten onderwijzen liefde voor lezen maar niet voor wiskunde.” Zodra kinderen ouder worden, wees dan niet bang om uw kind in een programma te duwen dat hem uitdaagt. “het is de bedoeling om moeilijk te zijn, als u een 98% slagings percentage krijgt… zou het te gemakkelijk kunnen zijn.”

Hij beveelt ook aan dat ouders buiten het klaslokaal kijken de beste plaats om kinderen te vinden om kinderen aan te sporen. “Wiskunde wedstrijden, zomer programma’s, wiskunde cirkels (programma’s die uitdagende wiskunde in niet-oordelende omgevingen bieden) — wat u ook kunt vinden zodat de kinderen de smaak te pakken krijgen van waarom wiskunde leuk kan zijn.”

Ten slotte, en vooral, wil Rusczyk ouders kinderen meer tijd te geven om hun passies te verkennen.

Rusczyk waarschuwt dat kinderen die houden van wiskunde en wetenschapsprogramma vaak eindigen in klassen die niet centraal staan in hun aspiraties, maar meer gericht op berekeningen (zoals kunstgeschiedenis), en zichzelf bedriegen als het gaat om het verkennen van wiskunde en wetenschap buiten het klaslokaal.

Uiteindelijk, de vaardigheden vereist om een complex probleem op te lossen, het wiskunde probleem in kleinere delen te breken, te benaderen vanuit verschillende hoeken met behulp van verschillende methoden, niet te laten intimideren of gefrustreerd raken wanneer het pad niet duidelijk is, praktisch zijn in elke gebruiksomgevingen, van astrofysica tot eerste hulp, ouderschap. In het ideale geval bereidt wiskunde kinderen voor om betere denkers te worden ongeacht waar zij belanden. Ouders kunnen deze vaardigheden gebruiken om hun kinderen wiskunde tekortkomingen te verhelpen, één probleem tegelijk.

Een éénkamer schoolgebouw deel 2

One Classroom School 2

Ik ben onderwijzer zevende klas wiskunde, niet vierde-, vijfde en zesde-klas wiskunde. Is het niet correct van me om te veronderstellen dat de studenten iets moeten hebben geleerd, tegen de tijd dat ze zevende rang te bereiken? We gaan om met zeer abstract materiaal hier. Ik kan niet gaan vertragen en nog steeds de klus klaren. Als ik de snelheid verminder om te verzekeren dat alle studenten het materiaal leren, zouden we slechts de helft van het boek in een jaar tijd voltooien.”

Toegegeven, de kwestie van efficiëntie is zeer belangrijk. Maar de leraar is niet de enige persoon die tijd spendeert in de wiskunde klas. De studenten brengen daar ook tijd door. Is het efficiënter om de langzamere studenten om een heel jaar het gehele wiskunde boek door te nemen terwijl ze vrijwel niets leren, of een hele jaar door te brengen met de helft van het materiaal in het boek en het werkelijk goed te leren? Is het efficiënt om te eisen dat langzamere studenten zich aanpassen aan een tempo dat ze niet kunnen bijhouden? Is het efficiënt om te eisen dat snellere studenten vertragen om hun tragere collega’s tegemoet te komen? Wetende dat sommige mensen beter in kleine groepen met een meer tastbare en weloverwogen aanpak leren, is het efficiënt altijd de klasse als een geheel met abstracte lezingen te instrueren? Is het onmogelijk om snellere studenten snel in een kleine groep te instrueren, en dan te eisen dat ze elkaar helpen om dit voort te zetten in een snel tempo? Kan de leraar de studenten niet organiseren om elkaar te helpen de klus te klaren, terwijl ze tenminste enige tijd besteedt aan degenen die het mist in staat lijken te zijn om zichzelf te helpen?

Het probleem met gebrek aan bereidheid van de student plaagt elk niveau, beginnende met de kleuterschool. Maar de leraar heeft een curriculum te onderwijzen en moet verder gaan, of alle studenten klaar zijn of niet. Ben het eens dat het een goed idee is geen kinderen achter te laten, de meeste leerkrachten vinden het onmogelijk zichzelf verantwoordelijk te houden om ervoor te zorgen dat het werk goed wordt gedaan door elke student. Het was iemand anders  baan ze goed voor te bereiden zodat ze klaar zouden zijn voor het huidige verloop van lessen. Maar dat gebeurde niet. Dus wat kan je doen?  Het zal iemand anders werk om ervoor te zorgen dat de leerlingen leerden waardoor ze niet in staat zijn om nu de lessen te volgen.

Helaas, wanneer de studenten naar het volgende niveau van de klassen verplaatst, is te laat om te leren wat ze het jaar daarvoor hebben gemist, omdat de leraar zich bezig houdt met de lessen van het volgende jaar. Het jaar daarvoor, was het te vroeg voor deze studenten om bepaalde concepten en vaardigheden te leren omdat ze niet klaar waren; maar het jaar daarna, is het te laat voor hen om het te leren omdat dat voordien al had moeten gebeuren. Men kan zich afvragen: wanneer precies is het juiste moment dat dit leren moest plaatsvinden, en wie is er verantwoordelijk voor dit gebeuren?

In een een-kamer schoolgebouw is het duidelijk dat de leraar de enige wiskundeleraar voor ieder kind in de kamer is. No one else is aangewezen om de klus te klaren. Er is geen reserve leraar, geen apart naschools programma en geen optredend specialist om op terug te vallen op. En om een student een heel jaar laten leren, zonder resultaat, met de hoop dat het zal allemaal worden rechtgezet later dat jaar of het volgende jaar wordt gezien als een voor de hand liggende inefficiëntie. De éénkamer onderwijzer leert niet alleen zevende klas wiskunde: ze is didactische kids zevende graad wiskunde. Dat is een belangrijk onderscheid. Ze onderwijst niet alleen het zevende klas wiskunde curriculum; Ze onderwijst het aan alle zevende klas leerlingen onder haar hoede.

De illusie van het onderwijs in een alledaagse klas is om te geloven dat u niet langer onderwijst in een schoolgebouw éénkamer bent-, en dat iemand anders verantwoordelijk is voor het voorbereiden van de moeilijk lerende studenten; dat alle studenten worden verondersteld voorbereid bij u in de klas te komen, en dat er iets is vreselijk verkeerd en abnormaal aan de gang is als ze dat niet zijn; dat het uw missie is om uitsluitend gericht te zijn op de staat-gemandateerd zevende klas curriculum.

Beïnvloed door deze misvattingen, is het gemakkelijk om te vergeten dat je de enige wiskundeleraar van deze leerlingen bent, en dat u al deze kids zevende klas wiskunde leerd. Geleid door de fictie dat we niet in een schoolgebouw met één kamer onderwijzen, is het gemakkelijk om te geloven dat het altijd te vroeg of te laat is voor individuele leerbehoeften met kunstzinnige flexibiliteit en efficiëntie. Beheerst door deze illusie, is het gemakkelijk om te veronderstellen dat het andermans werk is dat de studenten klaar zijn voor wat ze nu moeten leren.

Maar het is slechts een illusie. Leraren in elke klas zijn nog steeds onderwijzer in een een-kamer schoolgebouw, want er zijn altijd studenten op een verscheidenheid van verschillende wiskunde niveaus in dezelfde kamer, en dat zal altijd zo zijn. Voor een gegeven klas van zevende nivelleermachines is hun wiskundeleraar de enige wiskundeleraar die zij voor een heel jaar hebben; alles wat die onderwijst is de verantwoordelijkheid van die leraar; alle de inhaalslagen zullen worden gedaan door die leraar. Sommige van de laagste presterenden zijn mogelijk niet bereid om veel van de huidige zevende klas curriculum zonder belangrijke aanpassingen; maar ze zijn klaar om iets in de wiskunde te leren, en het is geen andere leraar’s verantwoordelijkheid om ervoor te zorgen dat dat gebeurt.

Het is misschien wel waar dat die de belangen van deze kinderen het best kunnen worden gediend in een andere instelling, maar als het voor hen niet mogelijk is om te worden overgebracht naar andere klassen, dan is het van weinig praktische waarde om te klagen over de situatie; hun huidige wiskundeleraar wordt verantwoordelijk gesteld voor het voorbereiden van deze laag-uitvoerders voor wat ze nu kunnen leren. Als er leemtes zijn dan dienen deze te worden opgevuld om te zorgen dat het gebeuren, dan is de volwassene verantwoordelijk om ervoor te zorgen dat deze lacunes worden opgevuld.

Strategieën voor het opvullen van concept en vaardigheid lacunes zijn onderwerpen die te groot zijn om te behandelen in dit artikel. Het volstaat te zeggen dat wellicht de leraar nieuwe mothodes zal moeten verwerven om een grote verscheidenheid van technieken aan te leren die nieuw zijn in haar effectiviteit  om die hiaten op te vullen. Maar verandering is moeilijk voor iedereen, met inbegrip van wie de leraren, die manieren van interactie met hun klassen waarmee ze zich comfortabel voelen reeds hebben ontwikkeld. Zoals een middelbare school wiskunde leraar het uitdrukte, like”Ik hou van wat ik doe; het werkt voor mij.” (Helaas het werkte niet voor veel van zijn studenten, maar of hij dat erkennen wil, of dacht dat het slechts een een die dingen was waar men toch niets aan kon doen!) Significante verandering vereist nieuwe manieren van denken en een wonderbaarlijke hoeveelheid hard werken.

Die wijziging wordt gedreven door een verandering in houding van de overtuiging dat het de verantwoordelijkheid van de wiskundeleraar is alle studenten onder haar hoede te onderwijzen, niet alleen degenen die het makkelijkst leren; dat is niet het enige werk dat moet worden gedaan; in de instructie moet rekening worden gehouden met waar de aandacht van de studenten daadwerkelijk zijn waar zij verondersteld horen te zijn. Dit perspectief bevrijdt van de leraar’s geest te zoeken naar een perfecte nieuwe educatieve technieken en nieuwe manieren van het organiseren van student inspanningen, ten einde dat elke student zal worden ingeschakeld aan de vooruitgang van hun huidige staat van wiskundig inzicht en vaardigheid op weg naar de beheersing van hun klas niveau curriculum. Veranderen van ons perspectief is de eerste stap naar het leren hoe dat te bereiken wat voorheen onmogelijk was.

Verzet tegen dit perspectief (ofwel via actieve oppositie of de passieve weerstand van diepgewortelde gewoonte) heeft de neiging om te verhinderen dat leraren doen wat echt kan worden gedaan in een moeilijke situatie. Het is waar dat lesgeven aan een verscheidenheid van concept en vaardigheid niveaus, in plaats van zich uitsluitend op het klas niveau curriculum te richten, zeer inefficiënt is. Maar inefficiënt, in vergelijking met wat? Toestaan dat grote groepen van leerlingen van jaar tot jaar zonder merkbaar wiskundige vooruitgang slagen, is een kolossaal verspilling van ieders tijd, en de negatieve gevolgen van hun incompetentie op hun klasgenoten hoger-verwezenlijking is verre van verwaarloosbaar. En hoe langer het door gaat, hoe slechter het wordt. Dat is de inefficiëntie met een exponentiële groei factor!

Het is tijd voor wiskunde docenten om mentaal weer naar onderwijs in een een-kamer schoolgebouw te gaan. Als mijn vader met succes alle onderwerpen aan acht verschillende rang niveaus leren kon, zal rekening houdend met de enorme scala aan onderwerpen aan bod moeten komen, evenals de enorme verscheidenheid van stijlen en niveaus van paraatheid, dan zevende klas wiskunde docenten realistisch het doel van het voeden van de wiskundige denken van elke enkele student in hun klassen. Dit geldt uiteraard voor elk school niveau, met inbegrip van verdere school niveaus, waar de leeftijden van studenten in wiskunde klassen daadwerkelijk variëren kunnen met maar liefst vier jaar, en waar het vermoeden erg sterk is dat alle studenten in een bepaalde klas  hetzelfde niveau van bereidheid moeten hebben om te leren. Deze veronderstelling moet worden erkend als de fictie dat het is, zodat leraren dat kunnen doen wat ze moeten doen, wiskunde onderwijzen.