Mentale Ontwikkeling van Wiskunde

Mentale Ontwikkeling Wiskunde

Wiskunde gebruikt geconfectioneerde regels om modellen en relaties te maken. Tijdens het onderwijzen, stel ik de volgende vraag:

  •     Welke relatie vormt dit model?
  •     Welke echte wereld items delen deze relatie?
  •     Is die relatie wel logisch voor mij?

Negatieve GetallenDit zijn eenvoudige vragen, maar ze helpen me nieuwe onderwerpen te begrijpen. Als u mijn wiskunde berichten graag leest, weet u dat mijn artikels met mijn benadering aangaande dit onderwerp vaak wordt verguisd. Veel mensen hebben veel inzichtelijke opmerkingen bericht, over hun strijd met wiskunde en de middelen die hen geholpen hebben.

Wiskunde onderwijs

Schoolboeken stuitten zelden op begrip;  het oplossen van wiskunde problemen wordt met “ouderwetse” formules gedaan. Het bedroeft mij dat prachtige nieuwe ideeën vaak een negatieve behandeling krijgen:

  • De stelling van Pythagoras gaat niet alleen over driehoeken. Het gaat over de relatie tussen vergelijkbare vormen, de afstand tussen een verzameling van getallen, en nog veel meer.
  •     E is niet slechts een nummer. Het gaat over de fundamentele relaties tussen alle cijfers.
  •     Het natuurlijke logboek is niet slechts een inverse functie. Het gaat om de hoeveelheid tijd die dingen nodig hebben om te groeien.

Een elegant, “ha!” moet onze focus zijn, maar laten we daar de studenten zelf maar over laten struikelen. Ik raakte een “een ha” ogenblikkelijk na een helse wiskunde sessie op de universiteit. Sindsdien heb ik epifanieën willen vinden en delen om anderen de zelfde pijn te besparen. En het werkt in beide richtingen,  ik wil de inzichten graag met je delen. Er is dan meer begrip, minder pijn, en iedereen wint.

Wiskunde evolueert na verloop van tijd

Ik beschouw wiskunde als een manier van denken, en het is belangrijk om te zien hoe het zich ontwikkeld in het denken in plaats van alleen het resultaat. Laten we dit proberen aan de hand van een voorbeeld. Stel je voor een holbewoner begint met zijn eerste wiskunde les. Eén van de eerste problemen is het tellen van dingen. Verschillende systemen hebben zich na verloop van tijd ontwikkeld:

Geen enkel systeem is perfect, en elk heeft zijn voordelen:

  •     Unaire systeem: Teken lijnen in het zand — eenvoudiger kan het niet. Ideaal voor het bijhouden van de score in wedstrijden; u kunt aan een getal toevoegen zonder te wissen of te herschrijven.
  •     Romeinse cijfers: Meer geavanceerde unaire methode, met sneltoetsen voor grote aantallen.
  •     Decimalen: beseffen dat je getallen kunt gebruiken in een “positioneel” systeem met plaats en nul.
  •     Binair: Eenvoudigste positionele systeem (twee cijfers, op versus af) het is ideaal voor mechanische apparaten.
  •     Wetenschappelijke notatie: Uiterst compact, voor het gemakkelijk meten van grote getallen en precisie (1E3 vs 1.000E3).

Denk je dat we klaar zijn? Echt niet. Na 1000 jaar hebben nu een systeem dat decimale getallen zo schilderachtige doet voorkomen als Romeinse cijfers (“hoe is het ze gelukt met dergelijke onhandige hulpmiddelen?”).

Negatieve getallen zijn niet zo echt

Laten we een beetje meer over nadenken. Het bovenstaande voorbeeld toont dat ons getallen systeem een van vele manieren is om tel problemen op te lossen.

De Romeinen zouden nullen en breuken vreemd vinden, maar het betekent niet  dat “nietsheid” en “deel van geheel” geen nuttige concepten zijn. Maar zie hoe elk systeem wordt opgenomen in nieuwe ideeën. Breuken (1/3), decimalen (. 234), en complexe getallen (3 + 4i) zijn manieren om je in nieuwe relaties te uiten. Ze kunnen misschien nu niet zinvol zijn, net als nul niet “zinvol” was voor de Romeinen. We moeten nieuwe levensechte relaties voor creëren.

Zelfs dan zouden negatieve getallen voor ons niet bestaan op de manier waarop we denken, zoals u me hier overtuigd:

U: Negatieve getallen zijn een geweldig idee, maar bestaan niet echt. Het is een label dat we op een concept toepassen.

Ik: Dat doen ze zeker.

U: Ok, Toon mij 3 koeien.

Ik: Nou, um… Stel je bent een boer, en je hebt net 3 koeien verloren.

U: Ok, dan heb je nul koeien.

Ik: Nee, ik bedoel, je gaf 3 koeien aan een vriend.

U: Ok, hij heeft 3 koeien en ik heb nu nul.

Ik: Nee, ik bedoel, hij gaat deze ooit terug geven. Hij is ze U verschuldigd.

U: Ah,  het werkelijke aantal dat ik heb (-3 of 0) hangt af of ik denk dat hij mij zal terug betalen. Ik wist niet dat mijn mening de berekening veranderd. In mijn wereld had ikde hele tijd nul.

Ik: zucht, nee dus. Wanneer hij u de koeien terug geeft, ga je van -3 naar 3.

U: Ok, dus hij geeft 3 koeien en we springen 6, van -3 naar 3? Is er een andere nieuwe rekenkundig probleem waar ik me bewust van moet zijn? Hoe ziet sqrt(-17) koeien er uit?

Ik: Get out.

Negatieve getallen kunnen een relatie uitdrukken:

  • Positieve getallen vertegenwoordigen een overschot aan koeien
  • Nul vertegenwoordigt geen koeien
  • Negatieve getallen vertegenwoordigen een tekort aan koeien die worden geacht te worden terugbetaald

Maar negatieve getallen “bestaan niet echt” — het is alleen de relatie die zij vertegenwoordigen (een overschot/tekort van koeien). Omdat je niet-3 koeien in je hand kunt houden, hebben we een “negatief getal” model ontworpen om je te helpen met de boekhouding. (Ik gebruik doelbewust een verschillende interpretatie van wat “negatief” betekent: het is een ander tel systeem, net als Romeinse cijfers en decimalen verschillende telsystemen zijn.)

Wist u, dat negatieve getallen door veel mensen niet werden geaccepteerd, met inbegrip van westerse wiskundigen, tot de jaren 1700. Het idee van een negatief werd beschouwd als “absurd”. Negatieve getallen lijken vreemd, tenzij u ziet hoe zij complexe relaties vertegenwoordigenin de echte wereld, zoals schuld.

Waarom alle deze filosofie?

Besefte ik dat mijn “ mentaliteit is de sleutel tot leren.” Het hielp me tot diepe inzichten te komen, specifiek:

Feitenkennis is niet begrijpen. Weten dat “hamers spijkers slaan” is niet hetzelfde als het inzicht dat een hard voorwerp (een rots, een moersleutel) een spijker kan slaan. Houd een open mening. Ontwikkel een intuitie door jezelf opnieuw als een beginner te zien.

Een hoogleraar aan de universiteit ging voor een bezoek naar een beroemde Zen-meester. Terwijl de kapitein rusig thee serveerde, sprak de professor over Zen. De kapitein schonk de thee tot aan de rand van de kop, en bleef gieten. De professor keek naar de overvolle cup totdat hij zichzelf niet langer kon bedwingen. “het is overvol! Er kan niet meer thee bij!”schreeuwde de professor. De Zen meester zei eens “U bent zoals deze beker,”, “Hoe kan ik u Zen leren, tenzij u eerst uw kop leeg maakt.”

Wees creatief. Kijk naar vreemde relaties. Gebruik diagrammen,g ebruik humor, en gebruik analogieën. Maak gebruik van iets dat de ideeën levendiger maakt. Analogieën zijn niet perfect, maar helpen wanneer u worstelt met het algemene idee.

Realiseer dat je kunt leren. Wij verwachten dat de kinderen algebra leren, trigonometrie en calculus die de oude Grieken zou verbazen. En we moeten, we kunnen zo veel leren, mits goed uitgelegd. Niet stoppen totdat het zinvol is, of dat wiskundige gat zal je achtervolgen. Mentale weerbaarheid is van cruciaal belang — we geven vaak te gemakkelijk op.

Dus wat is het punt?

Ik wil delen wat ik heb ontdekt, in de hoop het u helpt bij het leren van wiskunde:

Wiskunde creëert modellen die bepaalde relaties hebben

We proberen verschijndelen te vinden in de echte wereld  die dezelfde relatie hebben. Onze modellen zijn altijd aan het verbeteren. Een nieuw model kan voorbij komen dat een betere relatie heeft (zoals Romeinse cijfers naar het decimale systeem).

Zeker, sommige modellen lijken geen nut te hebben: “waar zijn imaginaire getallen goed voor?”, vragen veel studenten. Het is een goede vraag, met een intuïtief antwoord.

Het gebruik van imaginaire getallen wordt beperkt door onze verbeelding en begrip — net als negatieve getallen “nutteloos zijn” tenzij u het idee van iets schuldig zijn hebt, imaginaire getallen kunnen verwarrend zijn, omdat we niet echt begrijpen wat de relatie is die zij vertegenwoordigen.

Wiskunde biedt modellen; het begrijpen van hun relaties en hoe deze toe te passen op de echte wereldse toepassingen.

Intuïtie ontwikkelen maakt leren leuk — zelfs accounting is niet slecht als je begrijpt hoe het problemen oplost. Ik wil aandacht schenken aan complexe getallen, calculus en andere ongrijpbare onderwerpen door te focussen op relaties, niet de oplossingen en mechanica.

Maar dit is mijn ervaring — hoe leer je het best?

Wees Rekenen De Baas

Wiskunde

“Is er een gemakkelijke manier om een wiskundig rekenwonder te worden?” Ik weet zeker dat u er minstens eenmaal in je leven aan gedacht hebt (zo niet vóór elke wiskunde opgave). U moet op een gegeven moment hebben gedacht hoe komt dat sommige mensen goed in wiskunde zijn, terwijl anderen falen om een simpele rekenopgave uit te voeren. Nou als je dat hebt, dan is het tijd om op te vrolijken! U bent namelijk niet de enige die dit voelt.

Diverse studies zijn uitgevoerd om te bepalen wat de wiskunde vaardigheid van hersenen superieur maakt ten opzichte van anderen. Een M.R.I-studie uitgevoerd op mensen van verschillende leeftijdsgroepen en verschillende opleidingsniveaus heeft verrassende resultaten opgeleverd.

In deze studie is duidelijk gebleken dat morfologisch (dat wil zeggen in termen van de vorm, grootte en structuur) het brein van zowel de wiskunde knobbel en de zogenaamde wiskunde kneuzen identiek zijn. (En je dacht altijd dat een ontbrekend deel verantwoordelijk was voor uw slechte score). Dus waarin ligt het verschil? De studie heeft ook bevestigd dat de wiskunde knobbels een hogere hersenactiviteit bezitten in hun inferieur pariëtale cortex (dat deel van de hersenen dat wordt verondersteld om te gaan met wiskunde)

Dus wat wil dat zeggen? Gewoon een bestuurings conflict in de geest.

Voordat ik het geheim van de wiskunde knobbel ga onthullen, laat me je vertellen over een incident dat niet zo lang geleden gebeurde. Op een mooie dag crashte mijn pc thuis. Hoe dan ook, voordat het crashte werkte het al niet als een super computer.

Om te beginnen was het al lang geleden gestopt met het afspelen van geluiden, en de floppy speler was er ook al mee gestopt (ok het was een oude machine, maar geloof me, ik gebruikte het puur uit emotionele redenen). Ik zat te denken om deze onderdelen te vervangen en zelfs het hele ding bij het grof vuil te zetten.

Hoe dan ook, heb ik besloten om windows opnieuw te installeren. Na een eindeloos wachten op het blauwe scherm, kwam het moment van glorie. Op het scherm was te lezen ‘uw computer is klaar om voor de eerste keer op te starten.’

Onmiddellijk daarna, was het eerste dat ik hoorde het zachte kraken van mijn harde schijf en toen zag ik het knipperen van mijn cd-rom-station. En vervolgens mag u raden wat er toen gebeurde, het lang dood gewaande diskettestation begon vervolgens ook te knipperen. “Hallelujah” riep ik uit. Nu besefte ik dat het een besturings conflict betrof dat belemmerde om mijn anders goede hardware  correct te laten werken.

Voor hen die niet weten wat een ‘driver’ is, dat is een klein programma verantwoordelijk voor het werken van uw hardware.

Ik werd zo optimistisch dat ik op het internet ging zoeken naar het juiste stuurprogramma voor mijn geluidskaart. Tot slot, ik vond wat ik het stuurprogramma en heb het handmatig geïnstalleerd. Het resultaat? Ik schrijf dit artikel op mijn computer (ja dezelfde oude pc) terwijl mijn favoriete mp3 van John Denver op de deizelfde oude pc wordt afgespeeld.

Nu weer terug naar wat we mee begonnen, over de vraag waarom bij sommige mensen de wiskunde vaardigheid volledig ontbreekt.

Wat is dat goed bewaarde geheim van een rekenwonder? Het antwoord is slechts een woord – updates. Mensen die niet over wiskunde vaardigheden beschikken hebben niet de moeite genomen hun stuurprogramma bij te werken.

Heden ten dage is iedereen zich ervan bewust dat computers zijn gebaseerd op het menselijk brein.

Onze hersenen = Hardware van computer, vergelijkbaar met de CPU.
Onze geest = Software, vergelijkbaar met besturingssysteem (zoals windows, linux of welke u het beste vind).
Onze geest moet over talrijke stuurprogramma’s (programma’s) beschikken om de diverse taken uit te voeren. Deze zijn opgeslagen in ons geheugen.

Sommige hersenen komen recht uit de verpakking met de juiste stuurprogramma’s geïnstalleerd, terwijl anderen hun stuurprogramma’s handmatig moeten bijwerken in de loop van hun leven.

Doe de volgende snelle test om te controleren welke versie van het wiskunde stuurprogramma geïnstalleerd is in je geest. (Probeer eerst om de vraag  op eigen houtje en probeer vervolgens de aanpak die hieronder wordt beschreven.)

23 x 11 = wat?

Neem de tijd.

Ik wacht nog steeds.

Heb je het antwoord?

Nu kijken naar de aanpak die hieronder wordt gegeven.

Actie: helemaal geen reactie / een milde hoofdpijn (veel overeenkomst met de oververhitting van een niet goed functionered deel van een machine.)

Type stuurprogramma geïnstalleerd: de geest met een niet-bestaand of defect stuurprogramma.

Actie: probeert het op te lossen met de pen & papier methode.

23

11

____

23

23 x

____

253

____
Type stuurprogramma geïnstalleerd: de geest geïnstalleerd met een verouderd stuurprogramma.

Actie: sinds 2 + 3 = 5, dus 23 x 11 = 253

Dat wil zeggen 23 x 11 = 2 [2 + 3] 3 = 2 5 3

Om elk willekeurig 2 cijferig getal met 11 te vermenigvuldigen, voeg je simpelweg twee cijfers toe en sandwich je het resultaat tussen deze twee cijfers.

Type stuurprogramma geïnstalleerd: de geest met de nieuwste bijgewerkte stuurprogramma.

Voordat u verder gaat met deze test, laat me je iets goeds vertellen over de menselijke geest. Onze geest is ontworpen om zeer lui te zijn. Dit maakt het op zijn beurt super efficiënt. In de war? Lees verder.

Onze geest zoekt altijd naar de mogelijkheid van maximale output met behulp van minimale inspanning. Dit maakt het super productief. Onze geest wil dat met een druk op een knop (die ook als absoluut onvermijdelijk is) alles moet worden uitgevoerd. Onze kleren en gebruiksvoorwerpen gewassen, ons voedsel gekookt, onze kamer schoongemaakt en ons wiskunde huiswerk gedaan.

Ik weet zeker dat de meesten van ons de opgave 23 x 11 kunnen hebben opgelost met behulp van de 2de benadering (een lange). Maar de meesten van ons kozen ervoor dat niet te doen, zoals op de een of andere manier de geest zich bewust werd dat het niet de meest efficiënte (lees: eenvoudige) manier van doen was.

Dat is de reden waarom zodra de geest is onderwezen de dingen op een gemakkelijke manier te doen het zelden terugkeert naar zijn oude inefficiënte manier. In mijn ervaring als een wiskundeleraar heb ik de studenten moeten transformeren van wiskunde vodden naar absolute wiskunde knobbels in een kwestie van weken, als eenmaal de juiste stuurprogramma’s in hun gedachten zijn geïnstalleerd.

Nu dat je geest de kortste en eenvoudigste manier weet van de vermenigvuldiging van een willekeurig 2 cijfer met 11, probeer een paar extra voorbeelden en zie welke methode naar uw mening de voorkeur heeft.

26 x 11 = ___

Sinds 2 + 6 = 8, dus antwoord is 2 8 6

67 x 11 = ___

antwoord is 6 [6 + 7] 7 = 6 [13] 7 = 7 3 7,
Aangezien hier de som zelf een twee cijfers  betreft. dus gewoon eenvoudig de tienden van het cijfer vaar voren dragen (dat zal altijd 1 zijn)

45 x 11 = ___

4 + 5 = 9, dus het antwoord = 4 9 5

Conclusie: Dit was slechts één voorbeeld om aan te tonen dat de veel benodigde wiskundige vaardigheid gelukkig al aanwezig is in onze geest. We kunnen allemaal  berekeningen doen met hoge snelheid. Alles wat we moeten doen is onze geest een beetje tweaken voor optimale prestaties.